गणित में HM का पूर्ण रूप, AM, HM और GM के बीच संबंध

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हार्मोनिक साधन या एचएम एक संख्यात्मक औसत है. इसकी गणना श्रृंखला में प्रेक्षणों या पदों की संख्या को श्रृंखला के प्रत्येक पद के व्युत्क्रमों के योग से विभाजित करके की जाती है। इसलिए, हार्मोनिक माध्य पारस्परिक मूल्यों के अंकगणितीय माध्य का व्युत्क्रम है।

सांख्यिकी में केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप का प्रयोग किया जाता है। केंद्रीय प्रवृत्ति का माप एक एकल मूल्य है जो उस तरीके का वर्णन करता है जिससे डेटा का एक समूह केंद्रीय मूल्य के आसपास एकत्रित होता है। यह डेटा सेट के केंद्र का प्रतिनिधित्व करता है।

केन्द्रीय प्रवृत्ति के तीन माप हैं। वे माध्य, माध्यिका और बहुलक हैं। इस पृष्ठ में आप एक महत्वपूर्ण प्रकार के साधन के बारे में जानेंगे “अनुकूल माध्य” इसकी परिभाषा, सूत्र और उदाहरण के साथ विस्तार से।

एचएम की परिभाषा

हार्मोनिक माध्य (एचएम) डेटा बिंदुओं के व्युत्क्रमों के औसत के रूप में परिभाषित किया गया है। यह सभी अवलोकनों पर आधारित है। हार्मोनिक माध्य बड़े मानों को कम और छोटे मानों को अधिक महत्व देता है।

सामान्य तौर पर, हार्मोनिक साधन इसे तब लागू किया जाता है जब छोटे मूल्यों को अधिक महत्व देना आवश्यक होता है। इसका अभ्यास समय और औसत दरों के मामले में किया जाता है।

चूँकि हार्मोनिक माध्य व्युत्क्रमों का औसत है, हार्मोनिक माध्य को परिभाषित करने का सूत्र “एचएम” इस प्रकार है:

यदि एक123,…,एएन तो, n तक व्यक्तिगत पद हैं

हार्मोनिक माध्य, एचएम = एन / ((1/ए1)+(1/ए2)+(1/ए3)+…+(1/एएन,

एचएम की गणना कैसे करें

अगर1,एक्स2,एक्स3,एक्स4… दिए गए डेटा बिंदु हैं, तो हार्मोनिक माध्य खोजने के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार है:

स्टेप 1: प्रत्येक मान के व्युत्क्रम की गणना करें (1/x11/x21/x31/x4,

चरण दो: चरण 1 से व्युत्क्रमों का औसत निर्धारित करें।

चरण 3: अंत में, चरण 2 में दिए गए मान से औसत का व्युत्क्रम लें।

एएम, एचएम और जीएम के बीच संबंध

तीन साधन हैं, जैसे अंकगणितीय माध्य, ज्यामितीय माध्य और हार्मोनिक माध्यइसे पाइथागोरसियन साधन के रूप में जाना जाता है। तीन अलग-अलग प्रकार के साधनों के सूत्र नीचे दिए गए हैं:

समांतर माध्य = (y1 + वाई2 + वाई3 +…..+यएन ) / एन

आवर्त माध्य = n / ((1/y1)+(1/वर्ष2)+(1/वर्ष3)+…+(1/वर्षएन,

ज्यामितीय माध्य =

G (ज्यामितीय माध्य), H (हार्मोनिक माध्य), और A (अंकगणितीय माध्य) के बीच संबंध इस प्रकार दिया गया है:

जी=√एएच

या

जी2 =एएच

एचएम के अनुप्रयोग

हार्मोनिक माध्य के प्राथमिक अनुप्रयोग निम्नलिखित हैं:

  • हार्मोनिक माध्य को वित्त में मूल्य-राजस्व अनुपात जैसे औसत गुणकों पर लागू किया जाता है।
  • इसका उपयोग बाजार तकनीशियनों द्वारा फाइबोनैचि अनुक्रम और फ्रैक्टल जैसे पैटर्न निर्धारित करने के लिए भी किया जाता है।
  • इसका उपयोग गति जैसे अदिशों की गणना के लिए किया जा सकता है। जैसा कि हम जानते हैं, गति को दो गणनात्मक इकाइयों, किमी/घंटा के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है।
  • एचएम का उपयोग व्यावसायिक फर्मों में औसत दरों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है क्योंकि यह किसी दिए गए नमूने में सभी डेटा बिंदुओं को समान महत्व देता है।

भारित हार्मोनिक माध्य

भारित हार्मोनिक माध्य का उपयोग तब किया जाता है जब हम अवलोकनों के एक सेट का औसत ज्ञात करना चाहते हैं, जैसे कि जब प्रत्येक डेटा बिंदु को समान भार दिया जाता है। चलो एक्स1,एक्स2,एक्स3…।एक्सएन अवलोकन हो और1,डब्ल्यू2,डब्ल्यू3,…वएन संगत वजन हो. फिर भारित हार्मोनिक माध्य का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

भारित एचएम =

यदि हमने वज़न को सामान्यीकृत कर लिया है, तो सभी वज़न का योग 1 होता है, अर्थात, w1 +डब्ल्यू2 +डब्ल्यू3 +…+डब्ल्यूएन = 1

मान लीजिए कि हमारे पास n आइटम x के साथ एक आवृत्ति वितरण है1,एक्स2,एक्स3…।एक्सएन संगत आवृत्तियों वाले एफ1,एफ2,एफ3…।एफएन तब भारित हार्मोनिक माध्य इस प्रकार दिया गया है:

भारित एचएम =

उदाहरण

उदाहरण 1:

डेटा 3, 4, 6, और 8 के लिए हार्मोनिक माध्य ज्ञात करें।

समाधान:

दिया गया डेटा: 3, 4, 6, 8

स्टेप 1: मानों के व्युत्क्रम की गणना करें:

1/3 = 0.34

1/4 = 0.25

1/6 = 0.16

1/8 = 0.125

चरण दो: चरण 1 में प्राप्त पारस्परिक मानों के औसत की गणना करें।

डेटा बिंदुओं की कुल संख्या = 4.

औसत = (0.34 + 0.25 + 0.16 + 0.125)/4

औसत = 0.875/4

चरण 3: चरण 2 में प्राप्त औसत मान के व्युत्क्रम का अनुमान लगाएं।

हार्मोनिक माध्य = 1/ औसत

हार्मोनिक माध्य = 4/0.875

हार्मोनिक माध्य = 4.57

इसलिए, डेटा 3, 4, 6, 8 के लिए हार्मोनिक माध्य 4.57 है।

उदाहरण 2:

निम्नलिखित तालिका के लिए हार्मोनिक माध्य की गणना करें:

एक्स 2 5 3 6 8 7
एफ 1 3 7 3 9 4

समाधान:

हार्मोनिक माध्य की गणना इस प्रकार की जाती है:

एक्स एफ 1/x एफ/एक्स
2 1 0.5 0.5
5 3 0.2 0.6
3 7 0.34 2.34
6 3 0.16 0.5
8 9 0.125 1.125
7 4 0.142 0.57
एन = 27 Σ एफ/एक्स=5.635

भारित हार्मोनिक माध्य का सूत्र है

एचएमडब्ल्यू = एन/((एफ1/एक्स1) + (एफ2/एक्स2) + (एफ3/एक्स3)+ ….(एफएन/एक्सएन,

एचएमडब्ल्यू = 27/5.635

एचएमडब्ल्यू = 4.791

इसलिए, हार्मोनिक माध्य, HMw, 4.791 है।

एचएम एफएक्यू का पूर्ण रूप

हार्मोनिक माध्य को परिभाषित करें।

हार्मोनिक माध्य को दिए गए डेटा शब्दों के व्युत्क्रमों के औसत के रूप में परिभाषित किया गया है।

हार्मोनिक माध्य की गणना के लिए सभी चरणों की सूची बनाएं।

हार्मोनिक माध्य की गणना करने के चरण नीचे दिए गए हैं:
चरण 1: दिए गए मानों का व्युत्क्रम निर्धारित करें।
चरण 2: चरण 1 में व्युत्क्रमों के औसत की गणना करें।
चरण 3: चरण 2 में प्राप्त औसत के व्युत्क्रम की गणना करें।

AM, GM और HM के बीच क्या संबंध है?

यदि AM, GM और HM क्रमशः अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य हैं, तो AM, GM और HM के बीच संबंध GM2 = AM × HM है

x और y का हार्मोनिक माध्य क्या है?

x और y का हार्मोनिक माध्य 2xy/(x+y) है।
चूंकि “x” और “y” दो डेटा बिंदु हैं, तो हार्मोनिक माध्य इस प्रकार दिया गया है:
HM = 2 /((1/x)+(1/y)) HM = 2/((x+y)/xy) HM = 2xy/(x+y)

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